मैंडलब्रॉट सेट की सीमा का पैरामीटर

क्या किसी को पता है कि मैंडेलब्रोट सेट की सीमा को कैसे पार किया जाए? मैं फ्रैक्टल-जियोमीटर या डायनेमिक सिस्टम व्यक्ति नहीं हूं। मुझे इस प्रश्न के बारे में कुछ निष्क्रिय जिज्ञासा है।

मैंडेलब्रोट सेट को कस्टम रूप से सभी बिंदुओं के $ M $ के सेट के रूप में परिभाषित किया गया है $ \ _ in \ mathbb {C} $ ऐसा है कि फ़ंक्शन का iterates $ z \ mapsto z ^ 2 + c $, $ 100 = 0 $ से शुरू होता है। , हमेशा के लिए बंधे रहते हैं। मैंडेलब्रॉट सेट के अधिकांश बहुत सुंदर चित्रण $ M $ के सेट के अनंत अनुक्रम के प्रतिच्छेदन के रूप में दिखाते हैं $ M_1 \ supset M_2 \ supset M_3 \ supset \ cdots $, जहाँ $ M_i $ की सीमा वक्र $ है। z_i (c) ) | = कश्मीर $। यहाँ $ z_i (c) $ $ z \ mapsto z ^ 2 + c $ का $ i $ थरेट है, $ z = 0 $ से शुरू होता है, और $ K $ कुछ स्थिर है जो इस बात की गारंटी देता है कि भविष्य के पुनरावृत्तियों से बच जाएगा। ये घटता $ \ आंशिक (M_i) $ मांडेलब्रोट सेट के तेजी से जटिल भागों को देखने के लिए दर्शक का मार्गदर्शन करता है।

इनमें से प्रत्येक वक्र $ \ आंशिक (M_i) $ विश्लेषणात्मक और बंद है। वे इस प्रकार त्रिकोणमितीय श्रृंखला के साथ अच्छी तरह से पैराट्राइज्ड हो सकते हैं। अधिक विशिष्ट होने के लिए, प्रत्येक सीमा में फॉर्म का एक पैरामीरिजेशन होता है $ $ z (t) = \ sum_ {k = 0} ^ \ infty a_k \ cos (kt) + i \ sum_ {k = 0} ^ \ infty b_k \ sin (kt)। $$। (वास्तव में, चूंकि प्रत्येक सीमा $ \ आंशिक (M_i) $ $ c के वास्तविक और काल्पनिक भागों में एक बहुपद समीकरण द्वारा निर्धारित की जाती है, मुझे लगता है कि इनमें से प्रत्येक श्रृंखला को समाप्त कर देना चाहिए। यदि मैं गलत हूं तो मुझे सुधारें। सोचें कि सीमित पथ में त्रिकोणमितीय श्रृंखला के साथ कुछ अच्छे पैरामीरीज़ेशन भी होने चाहिए। क्या यह सीमा सभी $ K $ के लिए समान है? यदि सीमा सभी $ K $ के लिए समान नहीं है, तो क्या $ K \ rightarrow \ infty $ के रूप में एक सीमा है? फूरियर गुणांक क्या हैं?

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आपकी प्रस्तावित सीमा पैरामीरिजेशन को विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं किया गया है, क्योंकि वहाँ है (जहाँ तक मुझे पता है) कोई कैनोनिकल यूनिट-टाइम पैरामीरिज़ेशन नहीं है, और फ़ॉयर गुणांक को एक पुनर्मूल्यांकन द्वारा बदल दिया जाएगा।
जोड़ा लेखक ricree, स्रोत
क्यों न केवल चाप की लंबाई द्वारा सीमित घटता को पैरामीटर किया जाए? हां, चाप की लंबाई अनंत तक बढ़ जाती है लेकिन आप इसे एक इकाई अंतराल में संपीड़ित करते रहते हैं।
जोड़ा लेखक Yursev, स्रोत

6 उत्तर

लेज़ के उत्तर का विस्तार: चलो $ \ psi $ लेंटेंट श्रृंखला के साथ मैंडेलब्रोट सेट के बाहरी हिस्से में यूनिट डिस्क के बाहरी हिस्से का नक्शा हो $$ \ psi (w) = w + \ sum_ {n = 0} ^ \ infty b_n w ^ {- n} = w - \ frac {1} {2} + \ frac {1} {8} w ^ {- 1} - \ frac {1} {4} w ^ {- 2} + \ frac {15} {128} w ^ {- 3} + 0 w ^ {- 4} - \ frac {47} {1024} w ^ {- 5} + \ dots $$ फिर बेशक मैंडलब्रॉट सेट की सीमा इस नक्शे के तहत यूनिट सर्कल की छवि है। हालाँकि, यह उस सीमा की स्थानीय कनेक्टिविटी पर (अभी तक साबित नहीं) पर निर्भर करता है। यहाँ, गुणांक $ b_n $ के लिए कोई ज्ञात बंद रूप नहीं है, लेकिन उन्हें पुनरावर्ती रूप से गणना की जा सकती है। बेशक हम $ w = e ^ {i \ "थीटा" $ डालते हैं और फिर यह एक फूरियर श्रृंखला है।

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गेराल्ड: यह बहुत अच्छा लग रहा है। क्या यह उन सीमा वक्रों की सीमा है? क्या आप गुणांक $ b_n $ के लिए पुनरावर्ती सूत्र के लिए एक संदर्भ दे सकते हैं?
जोड़ा लेखक J. Chomel, स्रोत
गेराल्ड: मुझे लगता है कि मुझे इस बारे में पढ़ने के लिए ऑनलाइन एक अच्छी जगह मिली, "; मुझे सही दिशा में इंगित करने के लिए धन्यवाद।
जोड़ा लेखक J. Chomel, स्रोत
जोड़ा लेखक Adam, स्रोत

मुझे पूरा यकीन नहीं है कि आप क्या पूछ रहे हैं। मंडेलब्रोट की सीमा निश्चित रूप से एक विश्लेषणात्मक वक्र नहीं है। वास्तव में, शशिकुरा के एक प्रसिद्ध परिणाम से पता चलता है कि मैंडलब्रॉट सेट की सीमा में हॉसडोर्फ़ आयाम 2 है।

वास्तव में, यह भी ज्ञात नहीं है कि सीमा एक वक्र है (यानी, स्थानीय रूप से जुड़ा हुआ): यह वर्तमान में एक आयामी होलोमोर्फिक गतिशीलता में सबसे प्रसिद्ध अनुमान है।

यदि मैंडेलब्रॉट सेट स्थानीय रूप से जुड़ा हुआ है, तो मेंडेलब्रॉट सेट की सीमा का प्राकृतिक वर्णन है ($ एम $ के पूरक के रीमैन मानचित्र के सीमा मूल्यों के रूप में); यह कई मायनों में एक प्राकृतिक जुझारू विवरण के रूप में भी जाना जाता है। हालांकि, जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, यह पैरामीट्रिजेशन विश्लेषणात्मक नहीं है, या यहां तक ​​कि $ C ^ 1 $ भी नहीं है।

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Lassse: मैं सीमा घटता $ \ आंशिक (M_i) $ के बारे में पूछ रहा हूं जो सभी $ i $ और सभी $ K $ के लिए विश्लेषणात्मक हैं। उदाहरण के लिए, यदि $ K = 2 $, तो $ \ आंशिक (M_1) $ वृत्त है $ | c = = 2 $, $ \ आंशिक (M_2) $ है वक्र $ | c ^ 2 + c | = 2 $ , $ \ आंशिक (M_3) $ कर्व है $ | (c ^ 2 + c) ^ 2 + c = = 2 $, आदि।
जोड़ा लेखक J. Chomel, स्रोत
मुझे लगा कि आप इन वक्रों की सीमा के बारे में पूछ रहे हैं, जो मैंडलब्रॉट सेट की सीमा है? मुझे यह उल्लेख करना चाहिए कि मैंडेलब्रॉट सेट की सीमा का अधिक प्राकृतिक सन्निकटन $ M $ ("equipotentials") के पूरक के समान कार्य के स्तर सेट के माध्यम से होगा। यदि $ K $ पर्याप्त रूप से बड़ा है, तो ये उपसंहार आपके द्वारा वर्णित वक्रों के करीब होंगे।
जोड़ा लेखक isomorphismes, स्रोत

गेराल्ड एडगर के उत्तर पर विस्तार करने के लिए, आपके लिए देखने के लिए कुछ प्रमुख वाक्यांश "डौडी-हबर्ड क्षमता" और " बाहरी किरणें

एक बाहरी किरण गेराल्ड के अनुरूप नक्शे $ \ psi $ के तहत तय $ \ थीटा $ के लिए रे $ \ arg z = \ थीटा $ की छवि है।

डौडी-हबर्ड क्षमता केवल बाहरी किरण तर्क के हार्मोनिक संयुग्मन है: इसकी क्षमता बाहरी किरणें क्षेत्र रेखाएँ हैं।

मुझे पूरा यकीन है कि यह साबित नहीं हुआ है कि यूनिट सर्कल पर सभी $ \ zeta $ के लिए $ \ psi (\ zeta) $ को अच्छी तरह से परिभाषित किया गया है, लेकिन मुझे लगता है कि ऐसा होना अनुमान है। (कभी-कभी यह कहते हुए कि इसे बाहरी किरण "भूमि" कहा जाता है, हालांकि, परिमेय कोण पर बाहरी किरणों $ 2 \ pi m/n $ को भूमि के लिए जाना जाता है, और इसके अलावा, सीमा पर लैंडिंग बिंदुओं पर गतिशीलता संबंधित है वास्तव में एक अच्छे तरीके से $ $ m/n अंश को। ( दोहरीकरण मानचित्र $ सर्किल पर $ 2 थीटा/मैपस्टार्ट 2 के बीच एक समानता है। होलोमोर्फिक नक्शे $ z \ mapstor z ^ 2 + c $, और $ \ की गतिशीलता पहले नक्शे के तहत थीटा $ $ z \ mapsto z ^ 2 + c_ \ थीटा $ मानचित्र की गतिशीलता से संबंधित हैं, जहां $ c_ \ थीटा $, मैंडरब्रोट सेट की सीमा पर संबंधित किरण का लैंडिंग बिंदु है।) इस प्रकार, सीमा का यह परिमार्जन वास्तव में एक महत्वपूर्ण और प्राकृतिक वस्तु है (यदि इसे अच्छी तरह से परिभाषित किया गया है, जैसा कि अनुमान है)।

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$\psi(w)$ is called Jungreis function
Mandelbrot set boundary as the image of unit circle under Jungreis function

यहाँ कुछ चित्र, कोड और विवरण दिखाए जा रहे हैं:

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Jungreis.svg - using Jungreis function

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Lemniscates5.png

सर्कल से सीमा पारमिरेशन

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Jing200.png

न्यूटन विधि:

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Mandelbrot_set_Component_by_Newton_method.png

सर्कल टू कंपोनेंट (या उसका हिस्सा):

http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Mandelbrot_set_Components.jpg

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मेरा अनुमान यह होगा कि इस तरह का एक परिमार्जन काम नहीं करेगा। कोख स्नोफ्लेक जैसे सरल (निश्चित दृष्टिकोण में) संरचना के लिए कुछ इसी तरह की कोशिश करें। क्या आप पैरामीरीज़ेशन के लिए अपने दृष्टिकोण को $ n $ के आधार पर एक फ़ंक्शन उत्पन्न करने की अनुमति देंगे, एक निश्चित गहराई तक स्नोफ्लेक उत्पन्न करने के लिए पुनरावर्ती पुनरावृत्तियों की संख्या? मुझे लगता है कि नहीं होगा। आप कम से कम कोक वक्र के लिए सक्षम हो सकते हैं, इसके चारों ओर "रबर बैंड" पतवार के लिए पैराड्राइज़ कर सकते हैं, लेकिन यह सबसे अधिक पुनरावृत्त परिभाषित वस्तुओं के लिए तुच्छ होगा।

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"बाहरी कोण" पर एक नज़र डालें। जाहिरा तौर पर किसी भी कोण पर अनंत से आने वाली एक रेखा, जो हमेशा संभावित रेखाओं के लंबवत रहती है, अंततः सेट पर स्पर्श करेगी।

http://mathr.co.uk/blog/2013-02-01_navigating_by_spokes_in_the_mandelbrot_set

http://mathr.co.uk/blog/2013-10-02_islands_in_the_hairs.html

मैं अभी भी उनके पीछे सटीक गणित का पता लगाने की कोशिश कर रहा हूं। उनके हास्केल स्रोत मेरे लिए क्रिप्टो हैं।

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