यहां एक शेफ सैद्धांतिक तर्क पर एक प्रयास है जिसे मैंने हमेशा
सोचा था कि काम करेगा, लेकिन वास्तव में कभी कोशिश नहीं की:
एक तिहाई कई गुना $ C $ के अंदर दो ट्रांसवर्सल सबमैनफोल्ड $ ए $
और $ बी $ की प्रशंसात्मक आयाम की चौराहे संख्या $ \ chi (ए \ otimes
बी) $ के रूप में गणना की जा सकती है, जहां मैं $ ए $ और $ बी का
उपयोग कर रहा हूं संबंधित मैनिफोल्ड की संरचना शीटों को इंगित करने के
लिए $, और टेंसर उत्पाद $ C $ -mod में हो रहा है। यदि छेड़छाड़
ट्रांसवर्सल नहीं है, तो यह संभवतः अभी भी काम करता है बशर्ते आप एक
व्युत्पन्न टेंसर उत्पाद लें (एक फ्लैट परिवार को एक सामान्य स्थिति
में घुमावदारों में से एक को ले जाएं, और एक परिपूर्ण के लिए फ्लैट
विरूपण के तहत $ \ chi $ का आविष्कार करें जटिल अन्य intersectand का
प्रतिनिधित्व, शायद?)।
उपर्युक्त मानते हुए, $ एम $ बार $ $ में $ विक्रय $ एम $ का
आत्म-चौराहे $ एमएम $ $ $ $ $ $ \ $ (एम \ otimes ^ एल एम) $ है। $ एम
$ चिकनी है, $ \ text {Tor} ^ i (एम, एम) = \ ओमेगा ^ i $। $ \ Chi $
की additivity द्वारा, आपको मिलता है:
$ एम.एम = \ sum_i \ chi (\ ओमेगा ^ i) (-1) ^ i $
दूसरी तरफ, डी रम के प्रमेय (या पॉइन्केयर लेम्मा?) $ \ Chi (एम, \
टेक्स्ट {निरंतर शीफ}) = \ ची (एम) $ के साथ दाईं ओर की ओर पहचानते
हैं, इसलिए हम कर रहे हैं।